Soal Logika Pembuktian

1. Penyelesaian dari 3x + 4y = 7 dan 6x + 8y = 21 dengan metode eliminasi adalah…

a. 7 = 2

b. 1 = 7

c. 0 = 7

d. 7 = 1

e. 2 = 7

Jawaban:         c. 0 = 7

Penjelasan:

                        Persamaan 1 kalikan 2

                                    6x + 8y = 21

                                    6x + 8y = 14

                                              0 = 7;

2. Pernyataan berikut yang sesuai dengan metode pembuktian kontradiksi adalah…

a. Membuat pemisalan jika p maka q adalah benar

b. Jika ~q benar maka ~p juga harus benar

c. Jika p benar maka q benar

d. Suatu pembuktian untuk pernyataan yang memuat bilangan asli

e. Tidak ada jawaban yang benar

Jawaban :        a. Membuat Permisalan jika p maka q adalah benar

Penjelasannya:

                        Kontradiksi ialah dua hal dimana kedua hal tersebut tidak boleh sama sama benar dalam waktu yang sama. Jadi, kita buat pemisalan jika p salah , q benar. Jika kita buat ke dalam operasi logika p maka q (p → q) maka hasil yang didapat adalah benar.

                       

                       

3. Berikut adalah pernyataan yang benar mengenai prinsip induksi sederhana , kecuali…

a. P(1) bernilai benar

b. N ≥ 1 untuk bilangan bulat positif

c. N ≥ 1 untuk bilangan ganjil

d. P(n) harus bernilai benar

e. P(n +1) harus bernilai benar

Jawaban :        c. N ≥ 1 untuk bilangan ganjil

Penjelasan:

                        Karena, salah satu ciri dari induksi sederhana adalah N ≥ 1 untuk bilangan bulat positif, sementara pada pilihan C hanya untuk bilangann ganjil.

4. Jika  2 + 4 + 6 + .... + 2n=n(n+1), apakah terbukti benar jika n = 1…

a. Benar

b. Salah

c. a dan b benar

d. a dan b salah

e. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban:         a. Benar

Penjelasan:

                        n = 1, maka 2 = 1(1 +1)

                                                = 1 . 2

                                                = 2 -> maka terbukti benar untuk n = 1

5. Yang manakah yang termasuk dalam metode  pembuktian tidak langsung…?

a. Metode kontraposisi

b. Metode Disjungsi

c. Metode Equivalen

d. Metode Ingkarang

e. Metode Eliminasi

Jawaban:         a. Metode kontraposisi

Penjelasan:

                        Karena metode kontraposisi termasuk metode pembuktian tidak langsung.

6. Manakah yang termasuk ke dalam teori komutatif…?

a. A.B = B.A

b. (A+B)+C = A+(B+C)

c. ( B + C ) = A . B + A . C

d. A + A = A

e. A + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C )

Jawaban:         a. A.B = B.A

Penjelasan:

                        Hukum komutatif artinya kita bisa menukar angka dan jawabannya tetap sama baik itu penjumlahan, ataupun perkalian.

7. Manakah yang termasuk ke dalam teori asosiatif…?

a. A . ( B + C ) = A . B + A . C

b. ( A . B ) . C = A . ( B . C )

c. A . B = B . A

d. A + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C )

e. A . A = A

Jawaban:         b. ( A . B ) . C = A . ( B . C )

Penjelasan:

                        Hukum asosiatif artinya kita bisa saja mengelompokkan operasi bilangan dengan urutan berbeda.

8. Apakah N³ + 2n adalah kelipatan 3 berlaku untuk n = 1 dan berlaku kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat postitif n (menggunakan induksi matematika)…?

a. Ya dan ya

b. Ya dan tidak

c. Tidak dan bisa jadi

d. Tidak ada jawaban benar

e. Tidak dan tidak

Jawaban:         a. Ya dan ya

Penyelesaian:

                        q Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

                        13 + 2(1) = 3 yg merupakan kelipatan 3 (ya, berlaku n=1)

                        q Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan k 3 + 2k = 3x

                        q adib. Untuk n = k + 1 berlaku

                        (k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3

                        (k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2

                        (k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3)

                        (k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1)

                        Induksi

                        3x + 3 (k 2 + k + 1)

                        3 (x + k 2 + k + 1)

                        Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat positif n (ya berlaku kelipatan 3).

9. Misalkan p(n) benar untuk semua bilangan positif n ≥ 1  untuk bilangan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1). Apakah p(n +1) bernilai benar…?

a. Benar

b. Salah

c. a dan b benar

d. a dan b salah

e. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban:         a. Benar

Penjelasan:

                        Buktikan bahwa p(n +1) benar, maka:

                        n = n + 1

                        2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1)

                        2 + 4 + 6 + ... + 2n + 2 (n +1) = n + 1 (n + 1 + 1)

                                                  2n + 2n + 2   = (n + 1) (n + 2)

                                                  2n + 2n + 2   = n (n + 1) + 2n + 2

                                                                        = n2 + n + 2n + 2

                                                                        = n2 + 3n + 2

                                                                        = (n + 1) (n + 2)     Terbukti Benar.

10. Jika diketahui n adalah ganjil, maka buktikanlah apakah n² adalah ganjil…?

a. Semua jawaban salah

b. Semua jawaban benar

c. Ganjil

d. Genap

e. Ganjil dan Genap

Jawaban:         c. Ganjil

Penjelasan:

                        Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga n = 2k + 1. Akan ditunjukkan bahwa n² adalah ganjil.

n² = (2k + 1)²

     = 4k² + 4k + 1

     = 2(2k² + 2k) + 1

Perhatikan bahwa n² = 2(2k² + 2k) + 1.

Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k² + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n² adalah ganjil.